Bonjour bonjour

J'ai un petit gros bug ._. et mes leçons ne m'aident pas beaucoup pour l'heure.

Imaginons j'ai deux plans différent dans l'espace :
(P) : x - 2y + z - 1 = 0
(R) : x - 3y + z + 2 = 0

Je dois déterminer leur position relative...
Je sais que je peux voir si ils sont sécants ou colinéaires suivant leur vecteur normal. Mais comment fait-on pour trouver leur vecteur normal ?

Après je sais, que pour savoir si ils sont orthogonaux, cette petite formule m'aide :
aa' + bb' + cc' = 0
Par exemple ici j'ai : 1x1 + (-2)x(-3) + 1x1 = 1 + 6 + 1 = 8 donc ils ne sont pas orthogonaux

Après pour trouver la droite qui caractérise leur intersection ? Comment dois-je faire ?

(Eh oui que de question >o< )

Merci beaucoup d'avaaance !

Bonsoir,

Que savons-nous d'un vecteur normal par rapport au plan ?

Par exemple, je prend un point A appartenant au plan donné.
Je considère un vecteur normal n.

A partir de quel moment un point M appartiendrait au plan P ?

Bonne continuation!

Un vecteur normal est un vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P ._. ...

Du coup le point M appartient au plan P si le vecteur AM est orthogonal au vecteur normal n ? ._.

C'est tout à fait cela !! Et le déblocage de ton problème se situe exactement dans la version mathématique de ce que tu as écrit en français.

En effet, mathématiquement comment écrire que le vecteur AM est orthogonal à n ?

Les maths et moi, on est pas très copain
AM . n = 0 ?
Le tout en vecteur évidemment, le petit produit scalaire ._.

Exactement !!

Pour quelqu'un qui n'y connaît soit-disant rien.

Du coup, si je prend un point A(xA,yA,zA), M(x,y,z) et n(a,b,c) que donne ton produit scalaire ?
Que devient les coordonnées du vecteur normal ?
Où pouvons-nous les retrouver dans l'équation du plan ?

Tu vas débloquer toute seule ton soucis, tu vas voir!

J'en sais des choses, mais je ne sais pas forcément quand m'en servir, et ce qu'il faut faire pour m'en sortir ^^" Mais j'ai fouillé dans mes anabac pour le coup :

Pour le vecteur AM j'ai
x1 = x - xA
y1 = y - yA
z1 = z - zA

Du coup mon produit scalaire... Devient ..

(x -xA )a + (y - yA)b + (z - zA)c ?

Et je me souviens que j'ai écris un jour que la vecteur normal c'était n(a, b, c)... du coup ca équivaudrait à ces coefficients ?

Donc si je prend mon plan (P) : x - 2y + z - 1 = 0
Son vecteur normal serait ( 1 ; -2 ; -1 ) ?

Bonsoir,

Et bien voilà, c'est nickel !!! En effet, si tu écris l'égalité (il manquait le "=0" à la suite de ton produit scalaire) et que tu développes, tu vas en effet retrouver les coefficients du vecteur normal devant les coordonnées du point M.

Donc maintenant, tu as les vecteurs normaux de tes deux plans, il ne reste plus qu'à travailler dessus .

Bon courage!

(P) : x - 2y + z - 1 = 0
(R) : x - 3y + z + 2 = 0

Vecteur normal de P : ( 1 ; -2 ; -1 )
Vecteur normal de R : (1 ; -3 ; +2 ).
Ils ne sont pas proportionnels, du coup ils ne sont pas colinéaire =O
Et si je veux xx' + yy' + zz' = 8, du coup ils ne sont pas orthogonaux.

Pour déterminer la droite qui caractérise leur intersection ai-je besoin encore des vecteur directeur ?

J'ai appris à faire avec les systèmes :3

Par exemple :
Je cherche à déterminer la droite d1 qui passe par C et D pour les plans (P) et (R)
Si z=0
{ x - 2y = 1
{ x - 3y = -2

{ x = 2y + 1
{ 2y -3y = -2 + 1

Donc x = 3 et y = 1
J'obtiens le point C ( 3 ; 1 ; 0 )

Si x = 0
{ -2y + z = 1
{ -3y + z = -2

{ z = 2y + 1
{ y = 3
donc z = 7 et y = 3
J'obtiens le point D ( 0 ; 3 ; 7 ).

Donc je peux dire que d1 passe par C et D, et est de vecteur directeur CD de coordonnées : ( -3 ; 2 ; 7 ).
Est-ce ce vecteur je peux le traduire en droite ._. ?
Du coup.... d1 : -3x + 2y + 7z = 0 ou j'ai pas le droit :3 ?

Attention! Une droite dans l'espace à un système d'équation caractéristique et non une seul équation. Car une équation définie un plan.

Plus simple peut-être que de chercher des points particulier, tu peux paramétrer ton équation tout simplement, non ?

Tu poses par exemple z=t (ton paramètre) et tu exprime à l'aide des deux autres équations, x et y en fonction de t ce qui va te donner ta paramétrisation de droite de façon intuitive. Et avec cette paramétrisation, tu pourras donner un point et un vecteur directeur.

Mais ton idée de prendre deux point pourquoi pas après tout, cela revient au même mais tu te casses un peu la tête car tu fais 2 résolutions de système alors qu'avec une paramétrisation, tu n'a même pas besoin d'en résoudre un seul ;-).

Bonne continuation !

Hmm ._.
Je n'ai pas tout compris x')
Est-ce que vous pourriez me montrer un exemple à propos de cette "paramétrisation" ._. ?

Bonsoir,

Une droite est caractérisée par un point qui appartient à cette droite ainsi que par la direction de celle-ci à savoir un vecteur directeur. En effet, Un point M appartiendra à la droite (d) passant par A de vecteur directeur u si et seulement si il existe un réel k tel que :

AM=k*u

Si je regarde de plus près les coordonnées du vecteur AM ainsi que les coordonnées du vecteur k*u, nous avons un système de trois équations permettant de décrire totalement notre droite. Ce système d'équation qui ne dépend en fait que de k, s'appelle une paramétrisation de notre droite tout simplement.

Est-ce plus clair ainsi ?

Bon courage!

Ouhlà, dur de s'y remettre soudainement ^^"
Désolée du temps de réponse, finalement je n'ai pas été là de toutes mes vacances v_v ( shame on me ! )

C'est plus clair, enfin je crois...
Je comprends la démarche et la logique, mais je ne vois toujours pas comment dois-je m'y prendre ...

Bonjour,

Il n'est jamais trop tard pour faire des mathématiques et réviser des classiques .

Alors en relisant toute la conversation, j'ai trouvé une petite erreur sur les vecteurs normaux pour la troisième coordonnée où tu as pris la constante et non le facteur devant le z. Je te laisse corriger les deux vecteurs et re-vérifer s'ils sont colinéaires ou non.

Enfin, Si u(a,b,c) est un vecteur directeur d'une droite passant par A(xA,yA,zA) alors un point M(x,y,z) appartient à cette droite si et seulement si, il existe un réel k non nul tel que:

AM=k*u

Donc:
{ x-xA= k*a
{ y-yA= k*b
{ z-zA= k*c

Voilà ce qu'on appelle une équation paramétrique de la droite car elle dépend du paramètre k. Cela rejoint en fait ton autre exercice où justement, on te donnait les équations caractéristique et on te demandait les positions relative des deux droites.

En espérant que cela sera plus clair et qu'à partir des deux équations de plan, tu vas pouvoir paramétriser ta droite sans résoudre de système comme tu l'as fait mais simplement en posant par exemple z=k et en exprimant, x et y en fonction de k ce qui te donnera un point de la droite et un coefficient directeur de cette droite.

Bonne continuation!

Merci beaucoup !
Désolée pour le temps de réponse, quelques problèmes personnels...

Sujet résolu, merci à Mrrire22 et bonne continuation à Ketsia.

Je lock.